Twierdzenie Pitagorasa

Zobacz slidy

Treść prezentacji

Slide 1

TWIERDZENIE PITAGORASA

Slide 2

Spis treści: Kim był Pitagoras? Co to jest twierdzenie? Układanka wprowadzająca do twierdzenia Pitagorasa. Twierdzenie Pitagorasa Dowód I Dowód II Twierdzenie odwrotne do tw. Pitagorasa Trójkąt egipski i pitagorejski. Zastosowanie w zadaniach: Obliczanie długości przeciwprostokątnej Obliczanie długości przyprostokątnej Obliczanie odległości punktów Sprawdzanie czy trójkąt jest prostokątny Obliczanie długości przekątnej: prostokąta i kwadratu Obliczanie długości wysokości w trójkącie Obliczanie długości promienia okręgu wpisanego Konstrukcja odcinków o długościach wymiernych Dyplom dla najlepszego ucznia i opisanego

Slide 3

OGÓLNE WIADOMOŚCI O TWIERDZENIU. W matematyce często formułujemy zdania, wyrażające pewną prawdę matematyczną. Zdania te nazywamy twierdzeniami. twierdzeniami Najczęściej twierdzenie ma postać zdania warunkowego. Na przykład w twierdzeniu: Jeżeli czworokąt jest równoległobokiem, to ma przeciwległe kąty równe. pierwsza część zdania, zaczynająca się po słowie jeżeli, nazywa się założeniem , druga, następująca po słowie to nazywa się tezą. W założeniu twierdzenia podajemy warunki, przy których ma być spełniona teza, tzn. podajemy informacje, które są nam znane. W tezie twierdzenia formułujemy własność, która ma być spełniona tzn. to co mamy udowodnić. W dowodzie twierdzenia korzystamy z tego, co jest dane w założeniu i przeprowadzamy rozumowanie, które doprowadza do wykazania tezy. W matematyce spotykamy się także z takim pojęciem jak aksjomat-jest to twierdzenie, które przyjmuje się bez Spis treści

Slide 4

Pitagoras to grecki matematyk i filozof. Żył w VI wieku p.n.e.Położył wielkie zasługi dla rozwoju matematyki, astronomii i fizyki. W mieście Krotonie założył na wpół tajemny związek znany pod nazwa pitagorejskiego. Związek przetrwał swego twórcę i działał przez następne 100 lat. Twierdzenie Pitagorasa to jedno z najstarszych twierdzeń matematycznych. Znane było w starożytnym Babilonie, w Chinach, w Egipcie na długo przed Pitagorasem. Pierwsze dowody tego twierdzenia przypisuje się jednak pitagorejczykom. Spis treści

Slide 5

Ta układanka jest stara jak świat. Na pierwszym rysunku widać cztery jednakowe trójkąty prostokątne o bokach a, b i c ułożone w taki sposób, że wewnątrz powstał kwadrat o boku c.Na dolnym rysunku te same trójkąty zostały ułożone inaczej, tak że pojawiły się dwa mniejsze kwadraty. Te dwa mniejsze kwadraty mają taki samo pole, jak wewnętrzny kwadrat na górnym rysunku. Jakie jest pole wewnętrznego kwadratu na górnym rysunku? Zapisz wyrażenie, opisujące pola kwadratów na dolnym rysunku. Czy dostrzegasz jakąś regułę? Spis treści

Slide 6

TWIERDZENIE PITAGORASA Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat zbudowany na przeciwprostokatnej ma takie samo pole jak suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych. Lub inaczej: W trójkącie prostokątnym o bokach a, b i c, zachodzi równość c2a2b2 Spis treści

Slide 7

Dowód I ADC i ABC (ponieważ kąt A jest wspólny i trójkąty mają po jednym kącie prostym ). Stąd: AD AC AC AB BCD i ABC (kąt B jest wspólny i trójkąty mają po jednym kącie prostym). Stąd: DB B BC BC AB Obliczając proporcje otrzymamy: D C AD AB AC 2 DB AB BC 2 A Spis treści Dalej

Slide 8

Dowód I ciąg Przez dodanie stronamidalszy równań otrzymujemy: 2 2 AC BC AD AB DB AB AC BC AB AD BD 2 2 2 2 2 2 AC BC AB AB AC BC AB 2 Ponieważ: AC b, BC a, AB c Stąd: a2 b2 c2 Co należało udowodnić. Spis treści

Slide 9

Dowód II Dowód Przyjmijmy, że a, b są długościami przyprostokątnych rozważanego trójkąta, c długością przeciwprostokątnej. Należy wykazać, że c2 a2 b2 . Rozważmy kwadrat o boku ab, na każdym zaznaczmy odcinki a i b. b a a c c b a c b c a b Pole kwadratu o boku ab jest sumą pola kwadratu o boku c oraz pól czterech trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych a i b. Pole każdego takiego trójkąta prostokątnego wynosi: ab, zatem: Spis treści Dalej

Slide 10

Dowód II ciąg dalszy ( a b )2 c2 4 12 ab, a2 2ab b2 c2 2ab, a2 b2 c2 Co należało dowieść. Spis treści

Slide 11

Znając długości dwóch boków trójkąta prostokątnego możemy na podstawie twierdzenia Pitagorasa wyznaczyć długość trzeciego boku tego trójkąta. Spis treści

Slide 12

Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Pitagorasa Jeżeli w trójkącie długości boków: a, b, c są takie, że c2a2b2 to trójkąt jest prostokątny oraz a i b są przyprostokątnymi, a bok c jest przeciwprostokątną. Spis treści

Slide 13

Trójkąt prostokątny, którego długości boków są liczbami naturalnymi nazywamy trójkątem pitagorejskim. Trójkąt o bokach 3, 4, 5 nazywamy trójkątem egipskim. Spis treści

Slide 14

ZADANIE 1 Znając długości przyprostokątnych trójkąta, oblicz długość przeciwprostokątnej. a3cm, b4cm Rozwiązanie: c? c2a2b2 c a c23242 c2916 b c225 c5 Odpowiedź:Długość przeciwprostokątnej wynosi 5cm. Spis treści

Slide 15

ZADANIE 2 Oblicz długość przyprostokątnej, wiedząc że druga przyprostokątna wynosi 8cm, a przeciwprostokątna jest równa 10cm. ROZWIĄZANIE c2a2b2 a8cm, c10cm 10282b2 b? b2100-64 b216 c a b b4 Odpowiedź: Długość przyprostokątnej wynosi 4cm. Spis treści

Slide 16

ZADANIE 3 Oblicz odległość punktów A(x1,y2),B(x1,y2) ROZWIĄZANIE: Y Rzutując punkty A i B na osie układu otrzymujemy trójkąt prostokątny, więc z tw. Pitagorasa : AB 2 AC 2 BC 2 Z rysunku wynika, że: Y1 y2 A 2 2 2 2 AC y1 y2 BC x2 x1 B C x1 x2 X podstawiając do pierwszego wzoru otrzymamy: 2 AB y1 y2 x2 x1 AB 2 y1 2 y2 x2 x1 2 2 Spis treści

Slide 17

ZADANIE 3a Oblicz odległość punktów A(1,3), B(3,-1). ROZWIĄZANIE: Korzystając ze wzoru obliczonego w poprzednim zadaniu i po podstawieniu do niego danych otrzymamy: AB 1 3 3 1 2 2 AB 2 4 2 2 AB 4 16 AB 20 AB 2 5 2 5 Odpowiedź: Odległość między punktami A i B wynosi Spis treści

Slide 18

ZADANIE 4 Sprawdź, czy trójkąt o bokach: 2, 4, 35 prostokątny? jest ROZWIĄZANIE: Przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym to bok najdłuższy, więc oznaczmy c3 5 , b4, a2 Podstawiamy dane do twierdzenia Pitagorasa i zgodnie z tw. odwrotnym do tw. Pitagorasa, jeżeli będzie zachodziła równość to trójkąt będzie prostokątny. c2a2b2 (3 5 )22242 45416 4520 Odpowiedź:Ponieważ lewa strona nie równa się stronie prawej, to znaczy, że trójkąt o podanych bokach nie jest prostokątny Spis treści

Slide 19

ZADANIE 4 a Sprawdź, czy trójkąt o bokach: 25, 20, 15, jest prostokątny? ROZWIĄZANIE: c25 b20 a15 Podstawiamy do wzoru Pitagorasa: c2a2b2 252152202 625225400 625625 Odpowiedź: Ponieważ zachodzi równość, więc trójkąt o bokach 25, 20 i 15 jest prostokątny. Spis treści

Slide 20

ZADANIE 5 Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach a4cm, b6cm. ROZWIĄZANIE: d b a Przekątna w prostokącie dzieli go na dwa trójkąty prostokątne, więc możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa do policzenia długości przekątnej d. d2a2b2 d24262 d21636 d252 52 213 Odpowiedź:Długość przekątnej prostokąta wynosi132 cm. Spis treści d

Slide 21

ZADANIE 6 Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku 5cm. ROZWIĄZANIE: d a a Przekątna dzieli kwadrat na dwa równoramienne trójkąty prostokątne, więc możemy zastosować tw. Pitagorasa do obliczenia długości przekątnej. d2a2a2 d22a2 a d2252 d2225 50 5 2 d ODPOWIEDŹ: Przekątna kwadratu wynosi 5 2 cm. Spis treści

Slide 22

ZADANIE 7 W trójkącie równoramiennym długość ramienia ma 6 cm, a podstawa 8 cm. Oblicz jego wysokość. ROZWIĄZANIE: a6cm, b8cm h? h a Wysokość podzieliła trójkąt na dwa trójkąty prostokątne, podstawa została podzielona na połowę. Do policzenia wysokości tego trójkąta zastosujemy tw. Pitagorasa. a2h2(12b)2 62h242 b h236-16 h 20 2 5 Odpowiedź:Wysokość trójkąta wynosi 2 5 cm. Spis treści

Slide 23

ZADANIE 8 Oblicz promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny, którego bok jest równy 6cm. ROZWIĄZANIE: a a O a a r a Sześciokąt foremny można podzielić na sześć trójkątów równoramiennych o boku równym bokowi sześciokąta foremnego. Promień okręgu wpisanego w ten sześciokąt dzieli bok sześciokąta (trójkąta), na połowę i jest wysokością trójkąta równoramiennego. Do obliczenia promienia zastosować można tw. Pitagorasa. a6cm a2r2(12a)2 r2a2-14a2 r23462 Spis treści Dalej

Slide 24

ciąg dalszy zadania 8 r23436 r227 r3 3 Odpowiedź: Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny wynosi 3 3 cm. Spis treści

Slide 25

ZADANIE 9 Oblicz promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, którego bok jest równy 6cm. ROZWIĄZANIE: a r a O a Sześciokąt foremny można podzielić na sześć trójkątów równoramiennych o boku równym bokowi sześciokąta foremnego. Promień okręgu opisanego na tym sześciokącie jest równy długości boku sześciokąta. Jeżeli więc: a6cm, to r6cm. Odpowiedź: Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym jest równy bokowi tego sześciokąta, czyli 6cm. Spis treści

Slide 26

ZADANIE 10 Narysuj odcinki, których długość jest pierwiastkiem kolejnych liczb naturalnych. ROZWIĄZANIE: Rysunek przedstawia metodę rysowania odcinków, będących pierwiastkami kolejnych liczb naturalnych. 7 1 1 2 3 2 5 1 1 1 1 6 1 Wszystkie trójkąty prostokątne jedną przyprostokątną mają o długości 1 (pierwszy drugą również). Wykorzystując wzór Pitagorasa liczymy długość przeciwprostokątnej. W ten sposób można skonstruować odcinek o dowolnej długości. Spis treści

Slide 27

Jest alfabetem, przy pomocy którego Bóg opisał wszechświat. Galileusz Niniejszym nadajemy ...................................................... ........... honorowy, dożywotni tytuł W zastępstwie Pitagorasa Nauczyciel matematyki ................................................ Spis treści