Funkcja i jej własności

Zobacz slidy

Treść prezentacji

Slide 1

FUNKCJA JEJ WŁASNOŚCI ORAZ RODZAJE

Slide 2

CO TO JEST FUNKCJA? WŁASNOŚCI FUNKCJI FUNKCJA FUN KCJ A LI I JEJ WŁA NIOW A SNO Ś ŚCI JI C K N FU H Y YC D A OW Ł K INI Y Z PR NIEL

Slide 3

Co to jest funkcja ?

Slide 4

Definicja: Dane są dwa zbiory A i B Jeżeli każdemu elementowi zbioru A przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru B, to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją ze zbioru A do zbioru B. A B e 1 a 4 b c 5 3 d 2 A - dziedzina funkcji B - przeciwdziedzina funkcji elementy zbioru A- argumenty elementy zbioru B - wartości

Slide 5

Przykład funkcji I Każdy samochód, A dziedzina ma dokładnie jeden numer rejestracyjny. B przeciwdziedzina WRZ 2435 KRB 18003 CEK 2112 CZS 4503

Slide 6

Przykład funkcji II Każdy uczeń A ma dokładnie jeden numer w dzienniku B Każdy ma jeden numer Jola K. 12 19 Zbyszek W. Kasia B. Jacek Z. Tomek D. A - DZIEDZINA 5 21 7 B - PRZECIWDZIEDZINA

Slide 7

Różne sposoby opisywania funkcji SŁOWNIE TABELĄ WZOREM WYKRESEM GRAFEM Uwaga: Z każdego opisu musi jednoznacznie wynikać sposób przyporządkowania, dziedzina i przeciwdziedzina funkcji.

Slide 8

Przykład I - O PI S S ŁOWNY Każdemu uczniowi w klasie przyporządkowujemy pierwszą literę imienia. Dziedzina zbiór uczniów danej klasy. Przeciwdziedzina zbiór liter Przykład II - Każdej liczbie ze zbioru X -3,-2,-1,0,1,2,3 przyporządkowujemy liczbę o 3 większą. Dziedzina Przeciwdziedzina zbiór X -3,-2,-1,0,1,2,3 zbiór Y 0,1,2,3,4,5,6 Przykład III - Każdej liczbie naturalnej przyporządkowujemy liczbę do niej przeciwną. Dziedzina Przeciwdziedzina zbiór liczb naturalnych. zbiór liczb całkowitych

Slide 9

Przykład I Każdemu uczniowi w klasie przyporządkowujemy pierwszą literę imienia. TABELA Jola Kasia Tomek Waldek Bogdan Basia Wiesiek Marta Mariusz Paweł Kamil J K T W B W M. M. P K GRAF Wiesiek Basia Kasia Jola B M Tomek J Mariusz Marta Bogdan K B Paweł Waldek W P T Kamil WYKRES WZÓR Uwaga! Tej funkcji nie da się opisać wzorem ani wykresem ponieważ nie jest to funkcja liczbowa

Slide 10

Przykład II Każdej liczbie ze zbioru X -3,-2,-1,0,1,2,3 przyporządkowujemy liczbę o 3 większą. TABELĄ WYKRESEM -3 -2 -1 0 1 2 0 1 2 3 4 5 3 7 6 y (3;6) 6 (2;5) 5 WZOREM f:x (1;4) 4 x3 lub (-1;2) f(x) x3 lub 2 (-2;1) 1 (-3;0) y x3 dla x -3,-2,-1,0,1,2,3 (0;3) 3 x 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Slide 11

Przykład III Każdej liczbie naturalnej Uwaga! Ponieważ dziedziną tej funkcji jest nieskończony zbiór liczb naturalnych, nie można sporządzić tabeli ani grafu. Możemy się ograniczyć do tabeli częściowej (tzn. dla kilku wybranych elementów). TABELA 1 2 3 WYKRES 10 x 0 y 0 -1 -2 -3 -4 -5 WZÓR f:x -x f(x) - x y-x dla x N 4 5 9 8 7 6 5 4 3 2 x 1 0 -1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 0 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

Slide 12

WYKRES -jest to zbiór punktów na płaszczyźnie, których pierwsza współrzędna jest argumentem, a druga wartością funkcji dla tego argumentu. (x, f(x)) jeżeli x 1, to y 2 y y2x 6 5 jeżeli x 2, to y 4 (2,4) 4 3 jeżeli x -2, to y - 4 (1,2) 2 1 x 1 2 y 2 4 -2 -4 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 -2 f(x) y 2x wartość jest dwa razy większa od argumentu x -3 (-2,-4) -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6

Slide 13

Przykłady wykresów funkcji y 2x1 dla różnych dziedzin 8 y2x1 6 Dziedzina funkcji x 1, 2, 3 f(x) y 2x1 x-argument y-wartość 4 2 x 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -4 12 Dziedzina funkcji xR 10 y2x1 8 12 6 y 10 8 6 4 4 2 2 x 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -4 y2x1 0 1 2 3 4 5 6 Dziedzina Funkcji xC -6 -5 x 0 -4 -3 -2 -1 -2 -4 -6 -6 -8 -8 -10 -10 0 1 2 3 4 5 6

Slide 14

WŁASNOŚCI FUNKCJI

Slide 15

w Wraz ze wzrostem argumentów, rosną wartości funkcji. a r t o ś c i a r g u m e n t y

Slide 16

FUNKCJA jest ROSNĄCA jeżeli wraz ze wzrostem argumentów rosną jej wartości. y Y5 Y4 X1 rosną X2 X3 X4 X5 x Y2 rosną Y3 Jeżeli X1 X2, to Y1 Y2. Y1 Funkcja liniowa jest rosnąca dla a 0.

Slide 17

w a r t o ś c i a r g u m e n t y Wraz ze wzrostem argumentów, maleją wartości funkcji.

Slide 18

FUNKCJA jest MALEJĄCA jeżeli wraz ze wzrostem argumentów maleją jej wartości. Y y1 maleją Jeżeli x1 x2, to y1 y2. y2 x x1 rosną x2 0 Funkcja liniowa jest malejąca dla a 0.

Slide 19

Różne argumenty, równe wartości funkcji. w a r t o ś c i a r g u m e n t y

Slide 20

FUNKCJA jest STAŁA jeżeli wszystkim argumentom odpowiada ta sama wartość. Y te same wartość y y y y Jeżeli x1 x2, to y y ( jest stały ) y x x1 x2 0 x3 x4 różne argumenty Funkcja liniowa jest stała dla a 0.

Slide 21

Uwaga ! Nie wszystkie funkcje są monotoniczne (tzn. rosnące, malejące lub stałe) w całej dziedzinie. Ta funkcja jest przedziałami monotoniczna. 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 -2 -3 -4 -5 Dla x (- 6 ; - 4) - rosnąca Dla x (- 4 ; -1) - stała Dla x (-1 ; 0) - malejąca Dla x ( 0 ; 4 ) - rosnąca 1 2 3 4 5 6 7 Dla x (4 ;6 ) - stała

Slide 22

DE FI NI CJ A Miejscem zerowym funkcji jest argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0. A B x1 xo x2 xo x3 y1 f(x) 0 y2 y3 y f(xo) 0. Przykłady obliczania miejsc zerowych dla funkcji określonych wzorami: Liczymy argument Wartość funkcji wynosi 0 x? y0 Funkcja liniowa y 2x - 5 0 2x - 5 2x 5 xo 2,5 Funkcja kwadratowa y x2 - 9 0 x2 - 9 x2 9 xo 3 lub xo - 3

Slide 23

Miejsca zerowe można także odczytać z tabeli i wykresu. x -1 1 2 3 4 5 y 0 dla xo 2 y -3 -1 0 -3 -4 -5 Miejsce zerowe funkcji odczytujemy z wykresu, określając odciętą punktu przecięcia z osią OX. y6 y 10 y5 8 4 6 3 4 x 2 -3 -2 -1 1 2 0 -4 2 4 0 1 2 -2 -4 -6 Dwa miejsca zerowe Xo - 2 i Xo 2 3 4 x 0 0 -4 -3 -2 -1 -2 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 -2 -4 -3 -6 -4 Jedno miejsce zerowe Xo 1 x Brak miejsc zerowych 3 4 5

Slide 24

Wartości funkcji Wartości funkcji odczytujemy na osi Y. Dla argumentu x - 3, wartość wynosi y -2,5, dla argumentu x 3, wartość wynosi y 1. 6 Y I C Ś O T y R WA f(x) 5 4 3 DODATNIE 2 1 (3,1) X 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 - - (- 3;-2.5) - -2 -3 -4 -5 -6 1 - 2 3 - 4 UJEMNE - - 5 - 6

Slide 25

I K JA ? Y T N E M U G AR E 6 5 4 3 2 1 JA KI E DODATNIE W AR TO ŚC I? 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 - - -2 -3 -4 -5 1 - 2 3 - 4 - UJEMNE - 5 6 - -6 Dla x ( -6; -1,5) wartości funkcji są ujemne. Dla x ( -1.5; 2) wartości funkcji wynoszą 0. Dla x (2; 6) wartości funkcji są dodatnie.

Slide 26

FUNKCJA LINIOWA I JEJ WŁASNOŚI

Slide 27

FUNKCJA LINIOWA y a xb -Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. - a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, wskazuje on kąt nachylenia prostej do osi OX. - współczynnik b określa punkt przecięcia prostej z osią OY. Jest to funkcja opisana wzorem y axb, gdzie a i b są stałymi współczynnikami liczbowymi. x jest argumentem, y wartością funkcji, x R. y6 5 4 a tg 3 b2 2 1 x 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6

Slide 28

Jak rysujemy wykres funkcji liniowej? Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. Żeby narysować prostą trzeba mieć co najmniej 2 punkty 6 OBLICZENIA y 3x2 5 jeżeli x1 to y3125 4 punkt ( 1, 5 ) x -2 to y3(-2)2 - 4 3 2 1 punkt (- 2, -4 ) 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 5 6 TABELA x y3x2 (1,5) -2 1 -4 5 -2 -3 (-2, -4 ) -4 -5 -6 WYKRES

Slide 29

Wykresy funkcji y ax w zależności od współczynnika kierunkowego a. (b0) Różne współczynniki a, a 0 wykres leży w I i III ćwiartce różne kąty nachylenia do osi OX a 0 wykres leży w II i IV ćwiartce 50 y II -5 x y -2 I 40 a5 30 a2 20 x a12 10 x 0 -10 -8 -6 -4 -2 y 2x y 0 2 -20 a -5 -30 III 6 a -2 -10 x 5 4 -40 -50 IV 8 10

Slide 30

-10 -8 2 y -6 x -4 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -2 0 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20 -22 -24 -26 -28 -30 Wykresy funkcji liniowych b10 y b2 10 2x y 2 yaxb b0 b -4 2 x 2 - 4 b -10 x x 2 0 1 y x2 y 4 6 8 10 Współczynnik b wskazuje punkt przecięcia z osią OY (0,b) Współczynnik kierunkowy a2 wskazuje kąt nachylenia prostej do osi OX. (ten sam kąt - proste są równoległe)

Slide 31

Monotoniczność funkcji liniowej y axb y 20 Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy a jest dodatni. y axb 15 ca ą n s o r 10 0 a np. y2x2 Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy a jest ujemny. 5 x -4 -2 0 a0 stała 0 -5 -10 -15 2 ma le j ąc 4 aa 0 np. y -2x2 Funkcja liniowa jest stała, gdy współczynnik kierunkowy a wynosi 0. np. y0x -2-2

Slide 32

Miejsce zerowe funkcji liniowej y axb Miejscem zerowym funkcji jest argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0. 20 y Wartość funkcji wynosi 0 y0 16 Liczymy argument xo ? 1,25 y 4x - 5 0 4x - 5 4x 5 x 54 x 1,25 12 y 8 4x 5 4 A ( 1,25; 0) x 0 -5 -4 -3 -2 -1 -4 -8 -12 -16 0 1 2 3 X0 1,25 miejsce zerowe 4 5

Slide 33

Wartości funkcji liniowej y axb E I K A J M U G R A T N E Y? 6 5 4 3 2 1 UJEMNE - - 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 JA KI E W 1 ART x OŚ y DODATNIE CI ? 1 2 3 4 5 6 -2 -3 -4 xo -1 jest miejscem zerowym funkcji. -5 -6 Dla x -1 wartości funkcji są dodatnie. Dla x -1 wartości funkcji są ujemne.

Slide 34

Przykładem funkcji liniowej jest proporcjonalność prosta y ax, b0 Wykres jest prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych Wielkości x i y nazywamy wprost Przykłady wielkości wprost proporcjonalnych proporcjonalnymi y4x, x-długość boku y-obwód kwadratu yx, x-średnica okręgu y-długość okręgu ynx, x-długość boku wielokąta foremnego y-obwód wielokąta n- liczba boków ykx, x-ilość towaru y- wartość towaru k- cena towaru svt, t-czas, s-droga, v prędkość w ruchu jednostajnym

Slide 35

PRZYKŁADY FUNKCJI nieliniowych

Slide 36

FUNKCJA KWADRATOWA Jest to funkcja opisana wzorem y ax2 b, gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi i ao. PROPORCJONALNOŚĆ ODWROTNA Jest to funkcja opisana wzorem y a x gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0. MODUŁ LICZBY Jest to funkcja opisana wzorem y ax b gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Slide 37

Wykresem proporcjonalności odwrotnej jest hiperbola y a xy a x współczynnik proporcjonalności 4 y 3 a 0 x i y nazywamy wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. 2 1 x 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 Przykładem wielkości odwrotnie proporcjonalnych są długości zmieniających się boków prostokąta przy stałym polu. P xy x,y -długości boków.

Slide 38

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola 4 1 2 3 40 40 y 2x2 60 40 35 30 35 5030 y -2x 2 y 2x2 10 -6 -5 -4 -2 1510 20 -20 y 2x2 -5 10 -305 10 -6 -3 20 30 401025 25 20 0 30 20 0 -1 15 -10 -5 -4 -6 -5 -5 -4 -4 -6 a0 a0 1 2 3 4 5 6 b10 b-5 -40 50 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 -5 -50 0 -3 -2 -2 -1 -1-60 -3 -1000 11 22 33 44 55 66 6

Slide 39

Moduł liczby to inaczej jej wartość bezwzględna. Moduł liczby jest zawsze liczbą nieujemną. Jeżeli każdej liczbie rzeczywistej przyporządkujemy jej moduł, to otrzymujemy funkcję y x 7 5 3 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 -3 y x -5 1 2 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 y x 2 6 5 4 3 2 1 0 -8 1 2 3 -7 4 -6 -5 5 -4 -3 6 -2 -1 -1 0 -2 -3 y x2 -4 -5 1 2 3 4

Slide 40

Dziękuję za uwagę Koniec pokazu P o w tó rz y l i ś m y w ia d o m o ś c i o fo n k c j i D o w i e d z i e li ś m y s i ę c o to j e s t fu n k c ja . U trw a li l i ś m y w ła s n o ś c i fu n k c j i P rz y p o m n ie l i ś m y w i a d o m o ś c i o fu n k c j i l i n io w e j i in n y c h fu n k c j a c h